Løs 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Løs for z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -2 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kvadrér -2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Adder 4 til -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{2±6i}{4} når ± er plus. Adder 2 til 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Divider 2+6i med 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, z=\frac{2±6i}{4} når ± er minus. Subtraher 6i fra 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Divider 2-6i med 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Ligningen er nu løst.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Divider -2 med 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj -\frac{5}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Faktor z^{2}-z+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$