Løs 2y-3x=-22;2x+3y=32

$$2 y - 3 x = - 22 ; 2 x + 3 y = 32$$

Løs for y, x

$$x=10$$

$$y=4$$

Vejledning i brug af substitution

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for y ved at isolere y på venstre side af lighedstegnet.

$$2y-3x=-22$$

Adder 3x på begge sider af ligningen.

$$2y=3x-22$$

Divider begge sider med 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-22\right)$$

Multiplicer \frac{1}{2} gange 3x-22.

$$y=\frac{3}{2}x-11$$

Substituer \frac{3x}{2}-11 for y i den anden ligning, 3y+2x=32.

$$3\left(\frac{3}{2}x-11\right)+2x=32$$

Multiplicer 3 gange \frac{3x}{2}-11.

$$\frac{9}{2}x-33+2x=32$$

Adder \frac{9x}{2} til 2x.

$$\frac{13}{2}x-33=32$$

Adder 33 på begge sider af ligningen.

$$\frac{13}{2}x=65$$

Divider begge sider af ligningen med \frac{13}{2}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$x=10$$

Substituer 10 for x i y=\frac{3}{2}x-11. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for y.

$$y=\frac{3}{2}\times 10-11$$

Multiplicer \frac{3}{2} gange 10.

$$y=15-11$$

Adder -11 til 15.

$$y=4$$

Systemet er nu løst.

$$y=4,x=10$$

Vejledning i brug af matrixer

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-22\right)+\frac{3}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-22\right)+\frac{2}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne y og x.

$$y=4,x=10$$

Vejledning i brug af eliminering

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Hvis 2y og 3y skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med 3 og alle led på hver side af den anden ligning med 2.

$$3\times 2y+3\left(-3\right)x=3\left(-22\right),2\times 3y+2\times 2x=2\times 32$$

Forenkling.

$$6y-9x=-66,6y+4x=64$$

Subtraher 6y+4x=64 fra 6y-9x=-66 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$6y-6y-9x-4x=-66-64$$

Adder 6y til -6y. Betalingsbetingelserne 6y og -6y udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-9x-4x=-66-64$$

Adder -9x til -4x.

$$-13x=-66-64$$

Adder -66 til -64.

$$-13x=-130$$

Divider begge sider med -13.

$$x=10$$

Substituer 10 for x i 3y+2x=32. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for y.

$$3y+2\times 10=32$$

Multiplicer 2 gange 10.

$$3y+20=32$$

Subtraher 20 fra begge sider af ligningen.

$$3y=12$$

Divider begge sider med 3.

$$y=4$$

Systemet er nu løst.

$$y=4,x=10$$