Løs 2y^2+5y-2=0

$$2 y ^ { 2 } + 5 y - 2 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4}\approx 0,350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}\approx -2,850781059$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2y^{2}+5y-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 5 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 5.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+16}}{2\times 2}$$

Adder 25 til 16.

$$y=\frac{-5±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4} når ± er plus. Adder -5 til \sqrt{41}.

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{41} fra -5.

$$y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2y^{2}+5y-2=0$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$2y^{2}+5y-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Hvis -2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2y^{2}+5y=-\left(-2\right)$$

Subtraher -2 fra 0.

$$2y^{2}+5y=2$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2y^{2}+5y}{2}=\frac{2}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=\frac{2}{2}$$

Divider 2 med 2.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=1$$

Divider \frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=1+\frac{25}{16}$$

Adder 1 til \frac{25}{16}.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=\frac{41}{16}$$

Faktor y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Forenkling.

$$y+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Subtraher \frac{5}{4} fra begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$