Løs 2x-9=sqrt{5x+1}

$$2 x - 9 = \sqrt { 5 x + 1 }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{401} + 41}{8} \approx 7,628123049$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(2x-9\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-9\right)^{2}.

$$4x^{2}-36x+81=\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{5x+1} til potensen af 2, og få 5x+1.

$$4x^{2}-36x+81=5x+1$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$4x^{2}-36x+81-5x=1$$

Kombiner -36x og -5x for at få -41x.

$$4x^{2}-41x+81=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$4x^{2}-41x+81-1=0$$

Subtraher 1 fra 81 for at få 80.

$$4x^{2}-41x+80=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -41 med b og 80 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 4\times 80}}{2\times 4}$$

Kvadrér -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 4\times 80}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-16\times 80}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 80.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1280}}{2\times 4}$$

Adder 1681 til -1280.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{401}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -41 er 41.

$$x=\frac{41±\sqrt{401}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{41±\sqrt{401}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{41±\sqrt{401}}{8} når ± er plus. Adder 41 til \sqrt{401}.

$$x=\frac{\sqrt{401}+41}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{41±\sqrt{401}}{8} når ± er minus. Subtraher \sqrt{401} fra 41.

$$x=\frac{41-\sqrt{401}}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{401}+41}{8} x=\frac{41-\sqrt{401}}{8}$$

Substituer x med \frac{\sqrt{401}+41}{8} i ligningen 2x-9=\sqrt{5x+1}.

$$2\times \frac{\sqrt{401}+41}{8}-9=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{401}+41}{8}+1}$$

Forenkling. Værdien x=\frac{\sqrt{401}+41}{8} opfylder ligningen.

$$\frac{1}{4}\times 401^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{4}=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\times 401^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med \frac{41-\sqrt{401}}{8} i ligningen 2x-9=\sqrt{5x+1}.

$$2\times \frac{41-\sqrt{401}}{8}-9=\sqrt{5\times \frac{41-\sqrt{401}}{8}+1}$$

Forenkling. Værdien x=\frac{41-\sqrt{401}}{8} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\times 401^{\frac{1}{2}}=-\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\times 401^{\frac{1}{2}}\right)$$

Ligningen 2x-9=\sqrt{5x+1} har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{401}+41}{8}$$