Løs 2x^2-x-36=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-36. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-9 b=8$$

Omskriv 2x^{2}-x-36 som \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

Udfaktoriser x i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

Løs 2x-9=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -1 med b og -36 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Adder 1 til 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±17}{4} når ± er plus. Adder 1 til 17.

$$x=\frac{18}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±17}{4} når ± er minus. Subtraher 17 fra 1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Divider -16 med 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Adder 36 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Hvis -36 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

Subtraher -36 fra 0.

$$2x^{2}-x=36$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Divider 36 med 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Adder 18 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$