Løs 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, -1 med b, og -1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{1±3}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-1 og x+\frac{1}{2} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-1 er positiv og x+\frac{1}{2} er negativ.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x+\frac{1}{2} er positiv og x-1 er negativ.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$