Løs 2x^2-9x-35=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x - 35 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=7$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-35. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-9 ab=2\left(-35\right)=-70$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -9.

$$a=-14 b=5$$

Omskriv 2x^{2}-9x-35 som \left(2x^{2}-14x\right)+\left(5x-35\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(5x-35\right)$$

Ud2x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-7\right)+5\left(x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-7\right)\left(2x+5\right)$$

Løs x-7=0 og 2x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-9x-35=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -9 med b og -35 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -35.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2\times 2}$$

Adder 81 til 280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 361.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2\times 2}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±19}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{9±19}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±19}{4} når ± er plus. Adder 9 til 19.

$$x=\frac{28}{4}$$

Divider 28 med 4.

$$x=7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±19}{4} når ± er minus. Subtraher 19 fra 9.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-9x-35=0$$

Adder 35 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-9x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Hvis -35 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-9x=-\left(-35\right)$$

Subtraher -35 fra 0.

$$2x^{2}-9x=35$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{35}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{35}{2}$$

Divider -\frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{35}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{35}{2}+\frac{81}{16}$$

Føj \frac{35}{2} til \frac{81}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Adder \frac{9}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=7 x=-\frac{5}{2}$$