Løs 2x^2-9x+5=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3,850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0,649218941$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -9 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Adder 81 til -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} når ± er plus. Adder 9 til \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{41} fra 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Føj -\frac{5}{2} til \frac{81}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Adder \frac{9}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$