Løs 2x^2-9x+4=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-9 ab=2\times 4=8$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -9.

$$a=-8 b=-1$$

Omskriv 2x^{2}-9x+4 som \left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right)$$

Ud2x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(2x-1\right)$$

Løs x-4=0 og 2x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -9 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 2}$$

Adder 81 til -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 2}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{9±7}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±7}{4} når ± er plus. Adder 9 til 7.

$$x=\frac{16}{4}$$

Divider 16 med 4.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±7}{4} når ± er minus. Subtraher 7 fra 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-9x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-9x=-4$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Divider -4 med 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-2$$

Divider -\frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-2+\frac{81}{16}$$

Adder -2 til \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adder \frac{9}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$