Løs 2x^2-9x+18=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 18 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{9+3\sqrt{7}i}{4}\approx 2,25+1,984313483i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+9}{4}\approx 2,25-1,984313483i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-9x+18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -9 med b og 18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-144}}{2\times 2}$$

Adder 81 til -144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-63}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -63.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±3\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±3\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{9±3\sqrt{7}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±3\sqrt{7}i}{4} når ± er plus. Adder 9 til 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{9+3\sqrt{7}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±3\sqrt{7}i}{4} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{7} fra 9.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+9}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9+3\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{7}i+9}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-9x+18=0$$

Subtraher 18 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-9x+18-18=-18$$

Hvis 18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-9x=-18$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{18}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{18}{2}$$

Divider -18 med 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-9$$

Divider -\frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-9+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-9+\frac{81}{16}$$

Adder -9 til \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{63}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{63}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}$$

Adder \frac{9}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{9+3\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{7}i+9}{4}$$