Løs 2x^2-7x+4=0

$$2 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 7}{4} \approx 2,780776406$$

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}\approx 0,719223594$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-7x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -7 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32}}{2\times 2}$$

Adder 49 til -32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{17}}{4} når ± er plus. Adder 7 til \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{17}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{17} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-7x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-7x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-7x=-4$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Divider -4 med 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-2$$

Divider -\frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-2+\frac{49}{16}$$

Adder -2 til \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{17}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Adder \frac{7}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$