Løs 2x^2-5x-9=0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 5}{4} \approx 3,71221445$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}\approx -1,21221445$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -5 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 2}$$

Adder 25 til 72.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} når ± er plus. Adder 5 til \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{97} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-5x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$2x^{2}-5x=9$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{9}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{9}{2}$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{2}+\frac{25}{16}$$

Føj \frac{9}{2} til \frac{25}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{97}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$