Løs 2x^2-5x+2xsqrt{x^2-5x+6}=3

$$2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 x \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 3$$

Løs for x

$$x=3$$

Løsningsvejledning

Subtraher 2x^{2}-5x fra begge sider af ligningen.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-\left(2x^{2}-5x\right)$$

For at finde det modsatte af 2x^{2}-5x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-2x^{2}+5x$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Udvid \left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}-5x+6} til potensen af 2, og få x^{2}-5x+6.

$$4x^{2}\left(x^{2}-5x+6\right)=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x^{2} med x^{2}-5x+6.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Kvadrér 3-2x^{2}+5x.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=4x^{4}-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Subtraher 4x^{4} fra begge sider.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}-4x^{4}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Kombiner 4x^{4} og -4x^{4} for at få 0.

$$-20x^{3}+24x^{2}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Tilføj 20x^{3} på begge sider.

$$-20x^{3}+24x^{2}+20x^{3}=13x^{2}+30x+9$$

Kombiner -20x^{3} og 20x^{3} for at få 0.

$$24x^{2}=13x^{2}+30x+9$$

Subtraher 13x^{2} fra begge sider.

$$24x^{2}-13x^{2}=30x+9$$

Kombiner 24x^{2} og -13x^{2} for at få 11x^{2}.

$$11x^{2}=30x+9$$

Subtraher 30x fra begge sider.

$$11x^{2}-30x=9$$

Subtraher 9 fra begge sider.

$$11x^{2}-30x-9=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 11x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-30 ab=11\left(-9\right)=-99$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -99.

$$1,-99 3,-33 9,-11$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-99=-98 3-33=-30 9-11=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -30.

$$a=-33 b=3$$

Omskriv 11x^{2}-30x-9 som \left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right)$$

Ud11x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$11x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(11x+3\right)$$

Løs x-3=0 og 11x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{3}{11}$$

Substituer x med 3 i ligningen 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\times 3^{2}-5\times 3+2\times 3\sqrt{3^{2}-5\times 3+6}=3$$

Forenkling. Værdien x=3 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Substituer x med -\frac{3}{11} i ligningen 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+2\left(-\frac{3}{11}\right)\sqrt{\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+6}=3$$

Forenkling. Den værdi, x=-\frac{3}{11}, ikke opfylder ligningen.

$$\frac{3}{121}=3$$

Ligningen 2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3+5x-2x^{2} har en unik løsning.

$$x=3$$