Løs 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, -4 med b, og 1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) er positiv og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) er negativ.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) er positiv og x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) er negativ.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$