Løs 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-14. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -3.

$$a=-7 b=4$$

Omskriv 2x^{2}-3x-14 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Udfaktoriser x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Løs 2x-7=0 og x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -3 med b og -14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Adder 9 til 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±11}{4} når ± er plus. Adder 3 til 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±11}{4} når ± er minus. Subtraher 11 fra 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Divider -8 med 4.

$$x=-2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Adder 14 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Hvis -14 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Subtraher -14 fra 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Divider 14 med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Divider -\frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Adder 7 til \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Adder \frac{3}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$