Løs 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=9$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+27. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Løsningen er det par, der får summen -12.

$$a=-9 b=-3$$

Omskriv x^{2}-12x+27 som \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Udx i den første og -3 i den anden gruppe.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Løs x-9=0 og x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=9 x=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -24 med b og 54 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kvadrér -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Adder 576 til -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Det modsatte af -24 er 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±12}{4} når ± er plus. Adder 24 til 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Divider 36 med 4.

$$x=9$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±12}{4} når ± er minus. Subtraher 12 fra 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Divider 12 med 4.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=9 x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Subtraher 54 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Hvis 54 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Divider -24 med 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Divider -54 med 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Divider -12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -6. Adder derefter kvadratet af -6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrér -6.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Adder -27 til 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Faktor x^{2}-12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkling.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Adder 6 på begge sider af ligningen.

$$x=9 x=3$$