Løs 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 28 fra begge sider.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Subtraher 28 fra -12 for at få -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Divider begge sider med 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-5 b=4$$

Omskriv x^{2}-x-20 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Udfaktoriser x i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Løs x-5=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Subtraher 28 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Hvis 28 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Subtraher 28 fra -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -2 med b og -40 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Adder 4 til 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±18}{4} når ± er plus. Adder 2 til 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Divider 20 med 4.

$$x=5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±18}{4} når ± er minus. Subtraher 18 fra 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Divider -16 med 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=5 x=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Adder 12 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Hvis -12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Subtraher -12 fra 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Divider -2 med 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Divider 40 med 2.

$$x^{2}-x=20$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Adder 20 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=-4$$