Løs 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -2 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Adder 4 til 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Divider 2+2\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Divider 2-2\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Divider -2 med 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$