Løs 2x^2-19x-10=0

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -19.

$$a=-20 b=1$$

Omskriv 2x^{2}-19x-10 som \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right).

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Udfaktoriser 2x i 2x^{2}-20x.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Udfaktoriser fællesleddet x-10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Løs x-10=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -19 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Adder 361 til 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

Det modsatte af -19 er 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{19±21}{4} når ± er plus. Adder 19 til 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

Divider 40 med 4.

$$x=10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{19±21}{4} når ± er minus. Subtraher 21 fra 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Hvis -10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

Subtraher -10 fra 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

Divider 10 med 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Divider -\frac{19}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{19}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{19}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{19}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Adder 5 til \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Adder \frac{19}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$