Løs 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -15 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Adder 225 til 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} når ± er plus. Adder 15 til \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{233} fra 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{15}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{225}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Adder \frac{15}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$