Løs 2x^2-12x-65=45

$$2 x ^ { 2 } - 12 x - 65 = 45$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=11$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 45 fra begge sider.

$$2x^{2}-12x-65-45=0$$

Subtraher 45 fra -65 for at få -110.

$$2x^{2}-12x-110=0$$

Divider begge sider med 2.

$$x^{2}-6x-55=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-55. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-6 ab=1\left(-55\right)=-55$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -55.

$$1,-55 5,-11$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-55=-54 5-11=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -6.

$$a=-11 b=5$$

Omskriv x^{2}-6x-55 som \left(x^{2}-11x\right)+\left(5x-55\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(5x-55\right)$$

Udx i den første og 5 i den anden gruppe.

$$x\left(x-11\right)+5\left(x-11\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-11 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-11\right)\left(x+5\right)$$

Løs x-11=0 og x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=11 x=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-12x-65=45$$

Subtraher 45 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-12x-65-45=45-45$$

Hvis 45 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-12x-65-45=0$$

Subtraher 45 fra -65.

$$2x^{2}-12x-110=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -12 med b og -110 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\left(-110\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\left(-110\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\left(-110\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -110.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+880}}{2\times 2}$$

Adder 144 til 880.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{1024}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 1024.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±32}{2\times 2}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±32}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{12±32}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±32}{4} når ± er plus. Adder 12 til 32.

$$x=\frac{44}{4}$$

Divider 44 med 4.

$$x=11$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±32}{4} når ± er minus. Subtraher 32 fra 12.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Divider -20 med 4.

$$x=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=11 x=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-12x-65=45$$

Adder 65 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-12x-65-\left(-65\right)=45-\left(-65\right)$$

Hvis -65 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-12x=45-\left(-65\right)$$

Subtraher -65 fra 45.

$$2x^{2}-12x=110$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=\frac{110}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=\frac{110}{2}$$

Divider -12 med 2.

$$x^{2}-6x=\frac{110}{2}$$

Divider 110 med 2.

$$x^{2}-6x=55$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=55+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=55+9$$

Adder 55 til 9.

$$x^{2}-6x+9=64$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=64$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Forenkling.

$$x-3=8 x-3=-8$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=11 x=-5$$