Løs 2x^2+9x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0,108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4,608495283$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 9 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

Adder 81 til 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} når ± er plus. Adder -9 til \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{89} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$2x^{2}+9x=1$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divider \frac{9}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{9}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{9}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{9}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{81}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Subtraher \frac{9}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$