Løs 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -8.

$$-1,8 -2,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-1 b=8$$

Omskriv 2x^{2}+7x-4 som \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Udfaktoriser x i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Løs 2x-1=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 7 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Adder 49 til 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±9}{4} når ± er plus. Adder -7 til 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±9}{4} når ± er minus. Subtraher 9 fra -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Divider -16 med 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Divider 4 med 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Divider \frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Adder 2 til \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Subtraher \frac{7}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$