Løs 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-3 b=10$$

Omskriv 2x^{2}+7x-15 som \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Udx i den første og 5 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Løs 2x-3=0 og x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 7 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Adder 49 til 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±13}{4} når ± er plus. Adder -7 til 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±13}{4} når ± er minus. Subtraher 13 fra -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Divider -20 med 4.

$$x=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Hvis -15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Subtraher -15 fra 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Divider \frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Føj \frac{15}{2} til \frac{49}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Subtraher \frac{7}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$