Løs 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx+5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 10.

$$1,10 2,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=2 b=5$$

Omskriv 2x^{2}+7x+5 som \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Ud2x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Løs x+1=0 og 2x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 7 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Adder 49 til -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±3}{4} når ± er plus. Adder -7 til 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Divider -4 med 4.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±3}{4} når ± er minus. Subtraher 3 fra -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divider \frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Føj -\frac{5}{2} til \frac{49}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtraher \frac{7}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$