Løs 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-90. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-12 b=15$$

Omskriv 2x^{2}+3x-90 som \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Ud2x i den første og 15 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Løs x-6=0 og 2x+15=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 3 med b og -90 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Adder 9 til 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±27}{4} når ± er plus. Adder -3 til 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Divider 24 med 4.

$$x=6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±27}{4} når ± er minus. Subtraher 27 fra -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-30}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Adder 90 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Hvis -90 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Subtraher -90 fra 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Divider 90 med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Adder 45 til \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$