Løs 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-5 b=8$$

Omskriv 2x^{2}+3x-20 som \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Udx i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Løs 2x-5=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 3 med b og -20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Adder 9 til 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±13}{4} når ± er plus. Adder -3 til 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±13}{4} når ± er minus. Subtraher 13 fra -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Divider -16 med 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Hvis -20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Subtraher -20 fra 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Divider 20 med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Adder 10 til \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$