Løs 2x^2+3x+17=1

$$2 x ^ { 2 } + 3 x + 17 = 1$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}\approx -0,75+2,727178029i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}\approx -0,75-2,727178029i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+3x+17-1=1-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+3x+17-1=0$$

Subtraher 1 fra 17.

$$2x^{2}+3x+16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 3 med b og 16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 16}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-128}}{2\times 2}$$

Adder 9 til -128.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-119}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -119.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4} når ± er plus. Adder -3 til i\sqrt{119}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{119}i}{4} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{119} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+3x+17=1$$

Subtraher 17 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+3x+17-17=1-17$$

Hvis 17 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+3x=1-17$$

Subtraher 17 fra 1.

$$2x^{2}+3x=-16$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Divider -16 med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-8$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-8+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-8+\frac{9}{16}$$

Adder -8 til \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{119}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{119}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{119}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{119}i}{4}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{119}i}{4} x=\frac{-\sqrt{119}i-3}{4}$$