Løs 2x^2+2x-24=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 24 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$x^{2}+x-12=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-12. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-3 b=4$$

Omskriv x^{2}+x-12 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Udx i den første og 4 i den anden gruppe.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Løs x-3=0 og x+4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 2 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

Adder 4 til 192.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±14}{4} når ± er plus. Adder -2 til 14.

$$x=\frac{12}{4}$$

Divider 12 med 4.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±14}{4} når ± er minus. Subtraher 14 fra -2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Divider -16 med 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Adder 24 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+2x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Hvis -24 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+2x=-\left(-24\right)$$

Subtraher -24 fra 0.

$$2x^{2}+2x=24$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

Divider 2 med 2.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

Divider 24 med 2.

$$x^{2}+x=12$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Adder 12 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-4$$