Løs 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 2 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Adder 4 til -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2i}{4} når ± er plus. Adder -2 til 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Divider -2+2i med 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2i}{4} når ± er minus. Subtraher 2i fra -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Divider -2-2i med 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Divider 2 med 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj -\frac{1}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$