Løs 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx+21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Løsningen er det par, der får summen 17.

$$a=3 b=14$$

Omskriv 2x^{2}+17x+21 som \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Udx i den første og 7 i den anden gruppe.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x+3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Løs 2x+3=0 og x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 17 med b og 21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Kvadrér 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Adder 289 til -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-17±11}{4} når ± er plus. Adder -17 til 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-17±11}{4} når ± er minus. Subtraher 11 fra -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Divider -28 med 4.

$$x=-7$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Subtraher 21 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

Hvis 21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Divider \frac{17}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{17}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{17}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{17}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Føj -\frac{21}{2} til \frac{289}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Subtraher \frac{17}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$