Løs 2x^2+10x=72

$$2 x ^ { 2 } + 10 x = 72$$

Løs for x

$$x=-9$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 72 fra begge sider.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Divider begge sider med 2.

$$x^{2}+5x-36=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-36. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Løsningen er det par, der får summen 5.

$$a=-4 b=9$$

Omskriv x^{2}+5x-36 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right)$$

Udx i den første og 9 i den anden gruppe.

$$x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(x+9\right)$$

Løs x-4=0 og x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-9$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+10x=72$$

Subtraher 72 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+10x-72=72-72$$

Hvis 72 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 10 med b og -72 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-8\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 2}$$

Adder 100 til 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-10±26}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±26}{4} når ± er plus. Adder -10 til 26.

$$x=\frac{16}{4}$$

Divider 16 med 4.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±26}{4} når ± er minus. Subtraher 26 fra -10.

$$x=-\frac{36}{4}$$

Divider -36 med 4.

$$x=-9$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-9$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+10x=72$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+10x}{2}=\frac{72}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{10}{2}x=\frac{72}{2}$$

Divider 10 med 2.

$$x^{2}+5x=\frac{72}{2}$$

Divider 72 med 2.

$$x^{2}+5x=36$$

Divider 5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

Adder 36 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

Subtraher \frac{5}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-9$$