Løs 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Løs for x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Subtraher 2y fra begge sider.

$$2x-2y=14$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 5x på begge sider.

$$3y+5x=3$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$2x-2y=14$$

Adder 2y på begge sider af ligningen.

$$2x=2y+14$$

Divider begge sider med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Multiplicer \frac{1}{2} gange 14+2y.

$$x=y+7$$

Substituer y+7 for x i den anden ligning, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Multiplicer 5 gange y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Adder 5y til 3y.

$$8y+35=3$$

Subtraher 35 fra begge sider af ligningen.

$$8y=-32$$

Divider begge sider med 8.

$$y=-4$$

Substituer -4 for y i x=y+7. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=-4+7$$

Adder 7 til -4.

$$x=3$$

Systemet er nu løst.

$$x=3,y=-4$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Subtraher 2y fra begge sider.

$$2x-2y=14$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 5x på begge sider.

$$3y+5x=3$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=3,y=-4$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Subtraher 2y fra begge sider.

$$2x-2y=14$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 5x på begge sider.

$$3y+5x=3$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Hvis 2x og 5x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med 5 og alle led på hver side af den anden ligning med 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Forenkling.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Subtraher 10x+6y=6 fra 10x-10y=70 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Adder 10x til -10x. Betalingsbetingelserne 10x og -10x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-10y-6y=70-6$$

Adder -10y til -6y.

$$-16y=70-6$$

Adder 70 til -6.

$$-16y=64$$

Divider begge sider med -16.

$$y=-4$$

Substituer -4 for y i 5x+3y=3. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Multiplicer 3 gange -4.

$$5x-12=3$$

Adder 12 på begge sider af ligningen.

$$5x=15$$

Divider begge sider med 5.

$$x=3$$

Systemet er nu løst.

$$x=3,y=-4$$