Løs 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Løs for t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2t^{2}+at+bt-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Løsningen er det par, der får summen -3.

$$a=-6 b=3$$

Omskriv 2t^{2}-3t-9 som \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Ud2t i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet t-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Løs t-3=0 og 2t+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -3 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -3.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Adder 9 til 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{3±9}{4} når ± er plus. Adder 3 til 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Divider 12 med 4.

$$t=3$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{3±9}{4} når ± er minus. Subtraher 9 fra 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Divider -\frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Føj \frac{9}{2} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Adder \frac{3}{4} på begge sider af ligningen.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$