Løs 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Løs for r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2r^{2}+ar+br+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 4.

$$1,4 2,2$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+4=5 2+2=4$$

Løsningen er det par, der får summen 5.

$$a=1 b=4$$

Omskriv 2r^{2}+5r+2 som \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Udr i den første og 2 i den anden gruppe.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2r+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Løs 2r+1=0 og r+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 5 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrér 5.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Adder 25 til -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{-5±3}{4} når ± er plus. Adder -5 til 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{-5±3}{4} når ± er minus. Subtraher 3 fra -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Divider -8 med 4.

$$r=-2$$

Ligningen er nu løst.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Divider -2 med 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Divider \frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Adder -1 til \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtraher \frac{5}{4} fra begge sider af ligningen.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$