Løs 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Løs for r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2r^{2}+ar+br+54. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Løsningen er det par, der får summen 21.

$$a=9 b=12$$

Omskriv 2r^{2}+21r+54 som \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Udr i den første og 6 i den anden gruppe.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2r+9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Løs 2r+9=0 og r+6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 21 med b og 54 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kvadrér 21.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Adder 441 til -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{-21±3}{4} når ± er plus. Adder -21 til 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, r=\frac{-21±3}{4} når ± er minus. Subtraher 3 fra -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Divider -24 med 4.

$$r=-6$$

Ligningen er nu løst.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Subtraher 54 fra begge sider af ligningen.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Hvis 54 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Divider -54 med 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Divider \frac{21}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{21}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{21}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{21}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Adder -27 til \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtraher \frac{21}{4} fra begge sider af ligningen.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$