Løs 2b^2-4b+1>0

$$2 b ^ { 2 } - 4 b + 1 > 0$$

Løs for b

$$b\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2b^{2}-4b+1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, -4 med b, og 1 med c i den kvadratiske formel.

$$b=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Løs ligningen b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$b=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 b=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)>0$$

For at produktet bliver positivt, skal b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) begge være negative eller begge være positive. Overvej sagen, når b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) begge er negative.

$$b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0 b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Overvej sagen, når b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) begge er positive.

$$b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$