Løs 2a^2-21a+48=0

$$2 a ^ { 2 } - 21 a + 48 = 0$$

Løs for a

$$a = \frac{\sqrt{57} + 21}{4} \approx 7,137458609$$

$$a = \frac{21 - \sqrt{57}}{4} \approx 3,362541391$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -21 med b og 48 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

Kvadrér -21.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-8\times 48}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 48.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-384}}{2\times 2}$$

Adder 441 til -384.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -21 er 21.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{21±\sqrt{57}}{4} når ± er plus. Adder 21 til \sqrt{57}.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{21±\sqrt{57}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{57} fra 21.

$$a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

Subtraher 48 fra begge sider af ligningen.

$$2a^{2}-21a+48-48=-48$$

Hvis 48 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2a^{2}-21a=-48$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2a^{2}-21a}{2}=-\frac{48}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-\frac{48}{2}$$

Divider -48 med 2.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-24$$

Divider -\frac{21}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{21}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{21}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{21}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=-24+\frac{441}{16}$$

Adder -24 til \frac{441}{16}.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=\frac{57}{16}$$

Faktor a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{57}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{16}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{21}{4}=\frac{\sqrt{57}}{4} a-\frac{21}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{4}$$

Adder \frac{21}{4} på begge sider af ligningen.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$