Løs 2a^2-12a+18=0

$$2 a ^ { 2 } - 12 a + 18 = 0$$

Løs for a

$$a=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$a^{2}-6a+9=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som a^{2}+aa+ba+9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -6.

$$a=-3 b=-3$$

Omskriv a^{2}-6a+9 som \left(a^{2}-3a\right)+\left(-3a+9\right).

$$\left(a^{2}-3a\right)+\left(-3a+9\right)$$

Uda i den første og -3 i den anden gruppe.

$$a\left(a-3\right)-3\left(a-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet a-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(a-3\right)\left(a-3\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(a-3\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse a-3=0.

$$a=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2a^{2}-12a+18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -12 med b og 18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Kvadrér -12.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 18.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 2}$$

Adder 144 til -144.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$a=-\frac{-12}{2\times 2}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$a=\frac{12}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$a=\frac{12}{4}$$

Divider 12 med 4.

$$a=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2a^{2}-12a+18=0$$

Subtraher 18 fra begge sider af ligningen.

$$2a^{2}-12a+18-18=-18$$

Hvis 18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2a^{2}-12a=-18$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2a^{2}-12a}{2}=-\frac{18}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$a^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)a=-\frac{18}{2}$$

Divider -12 med 2.

$$a^{2}-6a=-\frac{18}{2}$$

Divider -18 med 2.

$$a^{2}-6a=-9$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-6a+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$a^{2}-6a+9=-9+9$$

Adder -9 til 9.

$$a^{2}-6a+9=0$$

Faktor a^{2}-6a+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-3\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$a-3=0 a-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$a=3 a=3$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$a=3$$