Løs 2x^2-8x-221=0

$$2 { x }^{ 2 } -8x-221 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{458}}{2}+2\approx 12,70046728$$

$$x=-\frac{\sqrt{458}}{2}+2\approx -8,70046728$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-8x-221=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -8 med b og -221 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-221\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-221\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-221\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -221.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+1768}}{2\times 2}$$

Adder 64 til 1768.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1832}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 1832.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{458}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{458}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{8±2\sqrt{458}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2\sqrt{458}}{4} når ± er plus. Adder 8 til 2\sqrt{458}.

$$x=\frac{2\sqrt{458}+8}{4}$$

Divider 8+2\sqrt{458} med 4.

$$x=\frac{\sqrt{458}}{2}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2\sqrt{458}}{4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{458} fra 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{458}}{4}$$

Divider 8-2\sqrt{458} med 4.

$$x=-\frac{\sqrt{458}}{2}+2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{458}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{458}}{2}+2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-8x-221=0$$

Adder 221 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-8x-221-\left(-221\right)=-\left(-221\right)$$

Hvis -221 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-8x=-\left(-221\right)$$

Subtraher -221 fra 0.

$$2x^{2}-8x=221$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{221}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{221}{2}$$

Divider -8 med 2.

$$x^{2}-4x=\frac{221}{2}$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\frac{221}{2}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=\frac{221}{2}+4$$

Adder \frac{221}{2} til 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{229}{2}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{229}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{229}{2}}$$

Forenkling.

$$x-2=\frac{\sqrt{458}}{2} x-2=-\frac{\sqrt{458}}{2}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{458}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{458}}{2}+2$$