Løs 2x^2-7x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } -7x+5=0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx+5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-5 b=-2$$

Omskriv 2x^{2}-7x+5 som \left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right)$$

Udfaktoriser x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-5\right)-\left(2x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-5\right)\left(x-1\right)$$

Løs 2x-5=0 og x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -7 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Adder 49 til -40.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±3}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{7±3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±3}{4} når ± er plus. Adder 7 til 3.

$$x=\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±3}{4} når ± er minus. Subtraher 3 fra 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Divider 4 med 4.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-7x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-7x=-5$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Føj -\frac{5}{2} til \frac{49}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adder \frac{7}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$