Løs 2x^2-6x+15=0

$$2 { x }^{ 2 } -6x+15 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2}\approx 1,5+2,291287847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}\approx 1,5-2,291287847i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-6x+15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -6 med b og 15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\times 15}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-120}}{2\times 2}$$

Adder 36 til -120.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-84}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -84.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 2}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4} når ± er plus. Adder 6 til 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{21}i}{4}$$

Divider 6+2i\sqrt{21} med 4.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±2\sqrt{21}i}{4} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{21} fra 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+6}{4}$$

Divider 6-2i\sqrt{21} med 4.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2} x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-6x+15=0$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-6x+15-15=-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-6x=-15$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=-\frac{15}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=-\frac{15}{2}$$

Divider -6 med 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{15}{2}$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{15}{2}+\frac{9}{4}$$

Føj -\frac{15}{2} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{21}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}i}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{21}i}{2} x=\frac{-\sqrt{21}i+3}{2}$$