Løs 2x^2-5x-18=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x-18 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-18. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-9 b=4$$

Omskriv 2x^{2}-5x-18 som \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

Udx i den første og 2 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-9 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Løs 2x-9=0 og x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -5 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -18.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

Adder 25 til 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 2}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{5±13}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±13}{4} når ± er plus. Adder 5 til 13.

$$x=\frac{18}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±13}{4} når ± er minus. Subtraher 13 fra 5.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Divider -8 med 4.

$$x=-2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Adder 18 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Hvis -18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-18\right)$$

Subtraher -18 fra 0.

$$2x^{2}-5x=18$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{18}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

Divider 18 med 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=9$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

Adder 9 til \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$