Løs 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -5 med b og 17 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Adder 25 til -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} når ± er plus. Adder 5 til i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{111} fra 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Subtraher 17 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

Hvis 17 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Føj -\frac{17}{2} til \frac{25}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$