Løs 2x^2-4x=5x^2-3x+1

$$2 { x }^{ 2 } -4x=5 { x }^{ 2 } -3x+1$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,552770798i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6}\approx -0,166666667+0,552770798i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}-4x-5x^{2}=-3x+1$$

Kombiner 2x^{2} og -5x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}-4x=-3x+1$$

Tilføj 3x på begge sider.

$$-3x^{2}-4x+3x=1$$

Kombiner -4x og 3x for at få -x.

$$-3x^{2}-x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-3x^{2}-x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, -1 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 1 til -12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-11}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af -11.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{11}i}{2\left(-3\right)}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{11}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{1±\sqrt{11}i}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{11}i}{-6} når ± er plus. Adder 1 til i\sqrt{11}.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{-6}$$

Divider 1+i\sqrt{11} med -6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{11}i}{-6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{11} fra 1.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{-6}$$

Divider 1-i\sqrt{11} med -6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6} x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}-4x-5x^{2}=-3x+1$$

Kombiner 2x^{2} og -5x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}-4x=-3x+1$$

Tilføj 3x på begge sider.

$$-3x^{2}-4x+3x=1$$

Kombiner -4x og 3x for at få -x.

$$-3x^{2}-x=1$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}-x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-3}\right)x=\frac{1}{-3}$$

Divider -1 med -3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Divider 1 med -3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{11}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Subtraher \frac{1}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6}$$