Løs 2x^2-14x+2=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+2=0$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-14x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -14 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16}}{2\times 2}$$

Adder 196 til -16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{180}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±6\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4} når ± er plus. Adder 14 til 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+14}{4}$$

Divider 14+6\sqrt{5} med 4.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{5} fra 14.

$$x=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$$

Divider 14-6\sqrt{5} med 4.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-14x+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-14x+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-14x=-2$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{2}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{2}{2}$$

Divider -14 med 2.

$$x^{2}-7x=-\frac{2}{2}$$

Divider -2 med 2.

$$x^{2}-7x=-1$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Adder -1 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$