Løs 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx+21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Løsningen er det par, der får summen -13.

$$a=-7 b=-6$$

Omskriv 2x^{2}-13x+21 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Udx i den første og -3 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Løs 2x-7=0 og x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -13 med b og 21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Kvadrér -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Adder 169 til -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Det modsatte af -13 er 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±1}{4} når ± er plus. Adder 13 til 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±1}{4} når ± er minus. Subtraher 1 fra 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Divider 12 med 4.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Subtraher 21 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

Hvis 21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Divider -\frac{13}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{13}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{13}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{13}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Føj -\frac{21}{2} til \frac{169}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Adder \frac{13}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$