Løs 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-40. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -11.

$$a=-16 b=5$$

Omskriv 2x^{2}-11x-40 som \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Ud2x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Løs x-8=0 og 2x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -11 med b og -40 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Adder 121 til 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±21}{4} når ± er plus. Adder 11 til 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divider 32 med 4.

$$x=8$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±21}{4} når ± er minus. Subtraher 21 fra 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Adder 40 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Hvis -40 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Subtraher -40 fra 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Divider 40 med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Divider -\frac{11}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Adder 20 til \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Adder \frac{11}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$