Løs 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 30 fra begge sider.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Subtraher 30 fra -6 for at få -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-36. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-8 b=9$$

Omskriv 2x^{2}+x-36 som \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Ud2x i den første og 9 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Løs x-4=0 og 2x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Subtraher 30 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Hvis 30 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Subtraher 30 fra -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 1 med b og -36 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Adder 1 til 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±17}{4} når ± er plus. Adder -1 til 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Divider 16 med 4.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±17}{4} når ± er minus. Subtraher 17 fra -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Adder 6 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Hvis -6 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Subtraher -6 fra 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Divider 36 med 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Adder 18 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$