Løs 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-168. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

Løsningen er det par, der får summen 5.

$$a=-16 b=21$$

Omskriv 2x^{2}+5x-168 som \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

Ud2x i den første og 21 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Løs x-8=0 og 2x+21=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 5 med b og -168 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Adder 25 til 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 1369.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±37}{4} når ± er plus. Adder -5 til 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divider 32 med 4.

$$x=8$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±37}{4} når ± er minus. Subtraher 37 fra -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-42}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Adder 168 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Hvis -168 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

Subtraher -168 fra 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

Divider 168 med 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Divider \frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Adder 84 til \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Subtraher \frac{5}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$